如图,在$\triangle ABC$中,点$D$是$AB$上一点,点$E$是$BC$上一点,连接$DE$、$AE$,$\angle AED=\angle ABC$,点$F$是$AE$上一点,且$EF=DE$,连接$CF$.
$(1)$如图$1$,若$CE=BD=2$,$BC=6$,求$CF$的长度；
$(2)$如图$2$,若$CE=AD$,点$G$为$CF$上一点,连接$EG$,且$\angle CEG=\angle EAB$,求证:$AE=2GE$；
$(3)$如图$3$,若$CE=AD$,$EF=\frac{3\sqrt{7}}{5}$,$\angle ABC=45^{\circ}$,当$CF$取得最小值时,请直接写出$\triangle ABE$的面积.