已知,如图,抛物线$y=-\frac{1}{4}x^{2}+bx+c$与$x$轴正半轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$,直线$y=x-2$经过$A$、$C$两点.
$(1)$直接写出抛物线的解析式；
$(2)P$为抛物线上一点,若点$P$关于直线$AC$的对称点$Q$落在$y$轴上,求$P$点坐标；
$(3)$现将抛物线平移,保持顶点在直线$y=x-\frac{11}{4}$,若平移后的抛物线与直线$y=x-2$交于$M$、$N$两点.
①求:$MN$的长度；
②结合（2）的条件,直接写出$\triangle QMN$的周长的最小值______.