数学活动课上,老师给出如下问题:如图①,正方形$ABCD$,连接$AC$,点$E$在边$AB$上,点$F$在边$BC$上,连接$EF$,过点$B$作$BG\bot EF$于点$G$,分别交线段$AC$,$DC$于点$M$,点$N$,且$BM=EF$.
各学习小组在探究过程中依次提出了以下问题,请你写出解答过程:

$(1)$"智慧小组"提出问题:
三条线段$BG$、$GF$、$GE$的长度间存在某种等量关系,请你直接写出这种关系；
$(2)$"善思小组"提出问题:
求证:$AE=BF$；
$(3)$"创新小组"在探究中受到启发,提出问题:
如图②,若$\frac{BG}{MN}=\frac{2}{3}$,求$\tan \angle CBN$的值.