如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个实数根,且其中一个根是另一个根的$3$倍,那么称这样的方程为"三倍根方程".例如,方程$x^{2}-4x+3=0$的两个根是$1$和$3$,则这个方程就是"三倍根方程".
$(1)$下列方程是三倍根方程的是______;(填序号即可）
①$x^{2}-2x-3=0$；
②$x^{2}-3x=0$；
③$x^{2}+8x+12=0$.
$(2)$如果关于$x$的方程$x^{2}-8x+c=0$是"三倍根方程",求$c$的值；
$(3)$如果点$\left(p,q\right)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上,那么关于$x$的方程$px^{2}-4x+q=0$是"三倍根方程"吗?请说明理由；
$(4)$如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$是"$3$倍根方程",那么$a$、$b$、$c$应满足的关系是______.(直接写出答案）