如图,三角形$ABC$底边$BC$上的高为$AD$,设$BC$的长为$x\left(cm\right)$,$AD$的长为$y\left(cm\right)$,三角形的面积为$S(cm^{2})$.
$(1)$如果三角形的高$AD$不变,即$y=6cm$,则$S$与线段$BC$的长$x$之间的关系式为______；
$(2)$如果三角形的底边$BC$不变,即$x=8cm$,当高从$3cm$增加到$10cm$时,三角形的面积将增加______$cm^{2}$；
$(3)$如果三角形的底边$BC$和高$AD$都发生变化,但$BC$与$AD$的和为$4cm$保持不变,即始终满足$BC+AD=4$:
①请求出此时$S$与$x$的关系式；
②根据①中的关系式完成表格,并分析当$0 \lt x \lt 4$时,$S$随$x$变化的情况为:______.

$BC$的长$x\left(cm\right)$	$\ldots$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$\frac{5}{2}$	$3$	$\frac{7}{2}$	$\ldots$
三角形面积$S(cm^{2})$	$\ldots$	$\frac{7}{8}$		$\frac{15}{8}$	$2$	$\frac{15}{8}$		$\frac{7}{8}$	$\ldots$