在直角坐标系中,设函数$y=\left(x-m\right)\left(x-n\right)(m$、$n$是实数).
$(1)$当$m=1$时,若该函数的图象经过点$\left(2,6\right)$,求函数表达式.
$(2)$若$n=m-1$,且当$x\leqslant -2$时,$y$随$x$的增大而减小,求$m$的取值范围.
$(3)$若该函数图象经过$\left(0,a\right)$,$\left(3,b\right)$两点$(a$、$b$是实数）当$2\leqslant m \lt n\leqslant 3$时,求$ab$的取值范围.