如图,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,$\angle A=60^{\circ}$,$BE\bot AC$于点$E$,延长线交$\odot O$于点$P$.
$(1)$如图①,若$\triangle ABC$是等边三角形,求证:$OE=PE$；
$(2)$如图②,当点$A$在直线$BC$上方运动时（包括点$B$、$C)$,作$CQ\bot AB$交$BE$于点$H$,
①求证:$HE=PE$；
②若$BC=3$,求点$H$运动轨迹的长度.