如图,一架无人机在一条笔直的公路上方飞行,$A$处为一辆行驶中的小汽车,$BC$为公路上的一座桥梁,当无人机飞行到$D$处时,测得$A$处、$C$处的俯角分别为$56^{\circ}$和$37^{\circ}$,此时,小明在桥梁的入口$B$处测得无人机$D$的仰角为$45^{\circ}$.已知桥梁$BC$的总长度为$100m$,求此时小汽车$A$距桥梁入口的距离$AB$的长.(结果精确到$1m$,参考数据:$\sin 56^{\circ}\approx 0.83$,$\cos 56^{\circ}\approx 0.56$,$\tan 56^{\circ}\approx 1.48$,$\sin 37^{\circ}\approx 0.60$,$\cos 37^{\circ}\approx 0.80$,$\tan 37^{\circ}\approx 0.75$,$\sqrt{2}\approx 1.41)$