如图,在四边形$ABCD$中$,AD$∥$BC,\angle B=90^{\circ}$,$AD=3cm$,$AB=4cm$,$BC=6cm$,动点$P$从点$A$出发,以每秒$1cm$的速度沿$A\rightarrow B\rightarrow C$匀速运动,点$P$运动的时间为$t\left(s\right)\left(0\leqslant t\leqslant 10\right)$,请解答以下问题:
$(1)$求边$DC$的长；(辅助线提示:过$D$点作$BC$边的垂线）
$(2)$是否存在某一时刻$t$,使线段$DP$把四边形$ABCD$分成面积相等的两部分?如果存在,请求出$t$的值；如果不存在,请说明理由；
$(3)$是否存在某一时刻$t$,使$\triangle DPC$恰好是直角三角形?如果存在,请求出$t$的值；如果不存在,请说明理由.