我们约定:若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的"包含方程".例如:方程$2x-4=2$的解为$x=3$,而不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞2\\ x-2＜3\end{array}\right.$的解集为$1 \lt x \lt 5$,不难发现$x=3$在$1 \lt x \lt 5$的范围内,所以方程$2x-4=2$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞2\\ x-2＜3\end{array}\right.$的"包含方程".请根据约定,解答下列问题.
$(1)$在一元一次方程①$6x-7=4x+5$；②$2x+5=3\left(x+1\right)$；③$\frac{3-x}{5}=\frac{3x-9}{15}$中,不等式组$\left\{\begin{array}{l}5x+2＞3(x-1)\\ \frac{1}{2}x+1≤7-\frac{3}{2}x\end{array}\right.$的"包含方程"是______$(填序号)$；
$(2)$若关于$x$的方程$\frac{x-1}{2}-k=0$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}5x-3(x-2)＞1\\ \frac{x+1}{6}≥\frac{2x-5}{4}+1\end{array}\right.$的"包含方程",求$k$的取值范围；
$(3)$若关于$x$的方程$\frac{x-5}{6}=\frac{m}{3}-1$是关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}2(x+1)＞m-1\\ \frac{x-1}{2}≥\frac{2x+1}{3}-2\end{array}\right.$的"包含方程",且此时该不等式组恰好有$7$个整数解,试求$m$的取值范围.