勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形结合的纽带之一,如图,有一架秋千,当它静止在$AD$的位置时,踏板离地的垂直高度为$0.8m$,将秋千$AD$往前推送$3m$,到达$AB$的位置,此时,秋千的踏板离地的垂直高度为$1.8m$,秋千的绳索始终保持拉直的状态.
$(1)$求秋千$AD$的长度；
$(2)$如果将秋千$AD$往前推送$4$米,求此时踏板离地的垂直高度为多少?