在$2024$年元旦即将到来之际,学校准备开展"冬日情暖,喜迎元旦"活动,小星同学对会场进行装饰.如图$1$所示,他在会场的两墙$AB$、$CD$之间悬挂一条近似抛物线$y=ax^{2}-\frac{4}{5}x+3$的彩带,如图$2$所示,已知墙$AB$与$CD$等高,且$AB$、$CD$之间的水平距离$BD$为$8$米.​

$(1)$如图$2$,两墙$AB$,$CD$的高度是______米,抛物线的顶点坐标为______；
$(2)$为了使彩带的造型美观,小星把彩带从点$M$处用一根细线吊在天花板上,如图$3$所示,使得点$M$到墙$AB$距离为$3$米,使抛物线$F_{1}$的最低点距墙$AB$的距离为$2$米,离地面$2$米,求点$M$到地面的距离；
$(3)$为了尽量避免人的头部接触到彩带,小星现将$M$到地面的距离提升为$3$米,通过适当调整$M$的位置,使抛物线$F_{2}$对应的二次函数的二次项系数始终为$\frac{1}{5}$,若设点$M$距墙$AB$的距离为$m$米,抛物线$F_{2}$的最低点到地面的距离为$n$米,探究$n$与$m$的关系式,当$2≤n≤\frac{9}{4}$时,求$m$的取值范围.