如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+4$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于点$A$、$B$,且$A\left(-4,0\right)$,$B\left(2,0\right)$.
$(1)$求抛物线的表达式；
$(2)$如图$1$,点$P$为线段$AC$上方抛物线上的任意一点,过点$P$作$PD$∥$y$轴交$AC$于$D$,$PG\bot AC$交直线$AC$于点$G$,求$DG$的最大值及此时点$P$的坐标；
$(3)$如图$2$,将抛物线沿着水平方向向右平移$2$个单位长度得到新的抛物线,点$E$为原抛物线与平移后的抛物线的交点,点$M$为平移后的抛物线对称轴上的一动点,点$N$为坐标平面内的一点,是否存在以$EM$为边,以$B$、$E$、$M$、$N$为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点$N$的坐标；若不存在,请说明理由.