【定义】在平面直角坐标系中,有一条直线$x=m$,对于任意一个函数图象,把该图象在直线$x=m$上的点以及直线$x=m$右边的部分向上平移$n(n$为正整数）个单位长度,再把直线$x=m$左边的部分向下平移$n$个单位长度,得到一个新的函数图象,则这个新函数叫做原函数关于直线$x=m$的"$n$移函数",例如:函数$y=x$关于直线$x=0$的"$2$移函数"为$y=\left\{\begin{array}{l}{x+2}&{(x≥0)}\\{x-2}&{(x＜0)}\end{array}\right.$.
根据以上信息,解答下列问题:
$(1)$已知点$P\left(3,2\right)$在函数$y=kx\left(k\neq 0\right)$关于直线$x=1$的"$3$移函数"图象上,求$k$的值；
$(2)$若二次函数$y=-x^{2}+2x+4$关于直线$x=3$的"$n$移函数"与$x$轴有三个公共点,设$m$是这三个点的横坐标之和,是否存在一个正整数$n$,使得$m$的值为整数?若存在,求出$m$的值；若不存在,请说明理由.