下面是航航解不等式$\frac{x-3}{2}+3≥\frac{x+1}{3}$的过程:
$3\left(x-3\right)+3\geqslant 2\left(x+1\right)$,第一步
$3x-9+3\geqslant 2x+2$,第二步
$3x-2x\geqslant 2+9-3$,第三步
$x\geqslant 8$第四步
先阅读以上解题过程,然后解答下列问题.
$(1)$航航的解题过程从第______步开始出现错误,这步的错误原因是______；
$(2)$请你写出这个不等式的正确解法.