已知二次函数$y=ax^{2}+bx+3\left(a\neq 0\right)$的图象过点$\left(1,0\right)$.
$(1)$若该函数图象的对称轴为直线$x=-1$,求该函数的表达式.
$(2)$在（1）的条件下,当$n\leqslant x\leqslant n+4$时,函数$y$有最小值$-5$,求$n$的值.
$(3)$已知$a \gt 0$,二次函数的图象经过点$(x_{1}$,$y_{1})$,$(x_{2}$,$y_{2})$,$x_{1}+x_{2}=4$,且$x_{1} \lt x_{2}$,试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小.