阅读材料:
黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的"对子".如:$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1,(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=3$,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样理解,如$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=7+4\sqrt{3}$.像这样,通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫作分母有理化.
解决问题:
$(1)4-\sqrt{7}$的有理化因式可以是______,$\frac{3}{2\sqrt{3}}$分母有理化得______.
$(2)$①已知$x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1},y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$,求$x^{2}+y^{2}$的值.
②求$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+⋯+\frac{1}{\sqrt{2022}+\sqrt{2023}}$的值.