在一次数学探究活动中,王老师设计了一份活动单:

已知线段$BC=4$,使用作图工具作$\angle BAC=45^{\circ}$,尝试操作后思考: $(1)$这样的点$A$唯一吗? $(2)$点$A$的位置有什么特征?你又什么感悟?

"追梦"学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点$A$的位置不唯一,它在以$BC$为弦的圆弧上（点$B$、$C$除外$),\ldots$小华画出了符合要求的一条圆弧（如图$1)$.

$(1)$小华同学提出了下列问题,请你帮助解决:
①该弧所在的圆的半径长为______；
②$\triangle ABC$面积的最大值为______.
$(2)$经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图$1$所示的弓形的外部,我们记为$P$,请你利用图$1$证明$\angle BPC \lt 45^{\circ}$；
$(3)$请你运用所学知识,结合以上活动经验,解决问题:如图$2$,已知矩形$ABCD$的边长$AB=4$,$BC=5\sqrt{3}$,点$M$在直线$CD$的左侧,且$\angle DMC=30^{\circ}$.
①用尺规作出点$M$的运动路径,并求线段$MB$长的最小值；
②过点$M$作$MH\bot CD$,垂足为$H$,若$S_{\triangle MCD}$不小于$4\sqrt{3}+2\sqrt{15}$,则$DH$长的范围是______.