已知关于$x$的一元一次方程$ax+b=0($其中$a\neq 0$,$a$、$b$为常数）,若这个方程的解恰好为$x=a-b$,则称这个方程为"恰解方程",例如:方程$2x+4=0$的解为$x=-2$,恰好为$x=2-4$,则方程$2x+4=0$为"恰解方程".
$(1)$已知关于$x$的一元一次方程$3x+k=0$是"恰解方程",则$k$的值为______；
$(2)$已知关于$x$的一元一次方程$-2x=mn+n$是"恰解方程",且解为$x=n\left(n\neq 0\right)$.求$\left(m+n\right)\left(m-n\right)$的值；
$(3)$已知关于$x$的一元一次方程$3x=mn+n$和$-3x=mn+m$都是"恰解方程",求代数式$4\left(mn+n\right)^{2}-6\left(mn+m\right)-\left(m-n\right)$的值.