如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC=10cm$,$BC=16cm$.点$D$由点$A$出发沿$AB$方向向点$B$匀速运动,同时点$E$由点$B$出发沿$BC$方向向点$C$匀速运动,它们的速度均为$1cm/s$.连接$DE$,设运动时间为$t\left(s\right)\left(0 \lt t \lt 10\right)$,解答下列问题:
$(1)$当$t$为何值时,$\triangle BDE$的面积为$7.5cm^{2}$；
$(2)$在点$D$,$E$的运动中,是否存在时间$t$,使得$\triangle BDE$与$\triangle ABC$相似?若存在,请求出对应的时间$t$；若不存在,请说明理由.