材料:思考的同学小斌在解决连比等式问题:"已知正数$x$、$y$、$z$满足$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}$,求$2x-y-z$的值"时,采用了引入参数法$k$,将连比等式转化为了三个等式,再利用等式的基本性质求出参数$k$的值,进而得出$x$、$y$、$z$之间的关系,从而解决问题.过程如下:
解:设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$,则有$y+z=kx$,$z+x=ky$,$x+y=kz$,
将以上三个等式相加,得$2\left(x+y+z\right)=k\left(x+y+z\right)$
$\because x$、$y$、$z$都为正数
$\therefore k=2$,即$\frac{y+z}{x}=2$
$\therefore 2x-y-z=0$.
仔细阅读上述材料,解决下面的问题:
$(1)$若正数$x$、$y$、$z$满足$\frac{x}{2y+z}=\frac{y}{2z+x}=\frac{z}{2x+y}=k$,求$k$的值；
$(2)$已知$\frac{a+b}{a-b}=\frac{b+c}{2(b-c)}=\frac{c+a}{3(c-a)}$,$a$、$b$、$c$互不相等.求证:$8a+9b+5c=0$.