如图,直线$y=x-3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$B$、$A$,抛物线$y=a\left(x-2\right)^{2}+k$经过点$A$、$B$,其顶点为$C$.
$(1)$求抛物线的解析式.
$(2)$求$\triangle ABC$的面积.
$(3)$点$P$为直线$AB$上方抛物线上的任意一点,过点$P$作$PD$∥$y$轴交直线$AB$于点$D$,求线段$PD$的最大值及此时点$P$的坐标.