在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,抛物线$y=x^{2}+c$与$x$轴交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$的左侧）,与$y$轴交于点$C$,且$OA=\frac{1}{2}OC$.
$(1)$求抛物线的函数表达式；
$(2)$点$D$为线段$AB$上的动点,过点$D$作$AC$的平行线交$BC$于点$E$,求$\triangle CDE$面积的最大值；
$(3)$点$M$是该抛物线上不同于$A$,$B$的一个动点,连接$AM$,过点$O$作$AM$的平行线$l_{1}$,过点$B$作$y$轴的平行线$l_{2}$交$l_{1}$于点$N$,判断直线$MN$是否恒过一定点,如果过定点,求出定点坐标；如果不过定点,说明理由.