如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+2$过点$\left(-1,2\right)$,且交$x$轴于点$A$,$B\left(1,0\right)$两点,交$y$轴于点$C$.

$(1)$求抛物线的表达式；
$(2)$点$P$是直线$AC$上方抛物线上的一动点,过点$P$作$PD\bot AC$于点$D$,过点$P$作$y$轴的平行线交直线$AC$于点$E$,求$PE+DE$的最大值及此时点$P$的坐标.