经典与拓展
图$1$是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形,后人称之为赵爽弦图.赵爽弦图在世界数学史上具有独特的贡献和地位,尤其是其中体现出的数形结合思想具有非常重要的意义.弦图之美,美在简约.赵爽弦图被誉为"中国数学界的图腾".$2002$年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标,该图是由$4$个全等的直角三角形围成$1$个大正方形和$1$个小正方形构成的.
【经典解读】
$(1)$如图$1$,若直角三角形的直角边$BC=4$,斜边$AB=2\sqrt{13}$,则小正方形$CEFD$的面积为______；连接$BD$,则$\triangle ABD$的面积为______.
【经典迁移】
$(2)$如图$2$,$P$是正方形$ABCD$内的一点,连接$PA$,$PB$,$PC$.当$\angle BPC=90^{\circ}$；$PB=3$时,求$\triangle PAB$的面积.
【经典拓展】
$(3)$如图$3$,$\angle MBN=90^{\circ}$,以点$B$为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线$BM$,$BN$于点$A$,$C.D$为线段$AB$上一个动点,连接$CD$,过点$B$作$BE\bot CD$于点$E$.在$CE$上取一点$F$,使$EF=BE$,过点$F$作$GF\bot CD$,交$BC$于点$G$.试判断$BE$,$DE$,$GF$三条线段之间的数量关系,并说明理由.