如图,纸上画了四个大小一样的圆,圆心分别是$A$,$B$,$C$,$D$,直线$m$通过$A$,$B$,直线$n$通过$C$,$D$,用$S$表示一个圆的面积,如果四个圆在纸上盖住的总面积是$5\left(S-1\right)$,直线$m$,$n$之间被圆盖住的面积是$8$,阴影部分的面积$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$满足关系式$S_{3}=\frac{1}{3}S_{1}=\frac{1}{3}S_{2}$,求$S$.