我国著名数学家曾说:数无形时少直觉,形少数时难入微,数形结合思想是解决问题的有效途径.请阅读材料完成:
$(1)$算法赏析:若$x$满足$\left(1-x\right)\left(x-5\right)=2$,求$\left(1-x\right)^{2}+\left(x-5\right)^{2}$的值.
解:设$\left(1-x\right)=a$,$\left(x-5\right)=b$,则$\left(1-x\right)\left(x-5\right)=ab=2$,$a+b=\left(1-x\right)+\left(x-5\right)=-4$.
$\therefore \left(1-x\right)^{2}+\left(x-5\right)^{2}=a^{2}+b^{2}\ldots$.
请继续完成计算.
$(2)$算法体验:若$x$满足$\left(30-x\right)\left(x-20\right)=-580$,求$\left(30-x\right)^{2}+\left(x-20\right)^{2}$的值；
$(3)$算法应用:如图,已知数轴上$A$、$B$、$C$表示的数分别是$m$、$10$、$13$.以$AB$为边作正方形$ABDE$,以$AC$为边作正方形$ACFG$,延长$ED$交$FC$于$P$.若正方形$ACFG$与正方形$ABDE$面积的和为$117$,求长方形$AEPC$的面积.