如图是一座人行天桥的示意图,已知天桥的高度$CD=6$米,坡面$BC$的倾斜角$\angle CBD=45^{\circ}$,距$B$点$8$米处有一建筑物$NM$,为了方便行人推自行车过天桥,市政府决定降低坡面$BC$的坡度,把倾斜角由$45^{\circ}$减至$30^{\circ}$,即使得新坡面$AC$的倾斜角为$\angle CAD=30^{\circ}$.
$(1)$求新坡面$AC$的长度；
$(2)$试求新坡面底部点$A$到建筑物$MN$的距离.