已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x+2y-6=0 \\ x-2y+mx+5=0\end{cases}$

$(1)$请直接写出方程$x+2y-6=0$的正整数解

$(2)$若方程组的解满足$x+y=0$，求$m$的值

$(3)$若方程组的解中$x$为整数，$m$也为整数，求$m$的值．