小曼和他的同学组成了"爱琢磨"学习小组,有一次,他们碰到这样一道题:"已知正方形$ABCD$,点$E$、$F$、$G$、$H$分别在边$AB$、$BC$、$CD$、$DA$上,若$EG\bot FH$,则$\frac{EG}{FH}=1$."为了解决这个问题,经过思考,大家给出了以下两个方案:
方案一:过点$A$作$AM$∥$HF$交$BC$于点$M$,过点$B$作$BN$∥$EG$交$CD$于点$N$；
方案二:过点$H$作$HM\bot BC$交$BC$于点$M$,过点$E$作$EN\bot CD$交$CD$于点$N$.
$(1)$对小曼遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图$1)$.
$(2)$如果把条件中的"正方形"改为"矩形",(如图$2)$,并设$AB=3$,$BC=5$,求$\frac{EG}{FH}$的值.