$2016$年$4$月$27$日,河北经贸大学的青年志愿者协会举办了以"低碳生活,绿色出行"为主题的志愿活动,为响应"低碳生活,绿色出行"的号召,赵琦每天骑自行车或步行上学,已知赵琦家距离学校$4$千米,赵琦骑自行车的速度是步行速度的$2.5$倍（骑自行车和步行均是匀速）,骑自行车上学比步行上学早到$0.6$小时.
$(1)$求赵琦步行上学的速度；
$(2)$若赵琦某次上学步行了$0.5$千米后发现没有带数学作业,于是他原速原路返回家拿数学作业,然后自自行车去上学,他到家后开门、拿数学作业、取自行车等共用$0.15$小时,为了不迟到,赵琦以高于平时的骑自行车的稍等匀速向学校行驶,若赵琦从步行出门到最后到学校共用了$0.6$小时,求赵琦这次骑自行车的速度.