如图所示,建筑物$MN$一侧有一斜坡$AC$,在斜坡坡脚$A$处测得建筑物顶部$N$的仰角为$60^{\circ}$,当太阳光线与水平线夹角成$45^{\circ}$时,建筑物$MN$的影子的一部分在水平地面上$MA$处,另一部分影子落在斜坡上$AP$处,已知点$P$的距水平地面$AB$的高度$PD=5$米,斜坡$AC$的坡度为$\frac{1}{3}$（即$\tan \angle PAD=\frac{1}{3})$,且$M$,$A$,$D$,$B$在同一条直线上.(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号）
$(1)$求此时建筑物$MN$落在斜坡上的影子$AP$的长；
$(2)$求建筑物$MN$的高度.