在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子,解答问题.
材料一:在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一,所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的.
例:已知:$\frac{x}{{{x^2}+1}}=\frac{1}{4}$,求代数式$x^{2}+\frac{1}{{{x^2}}}$的值.
解:$\because \frac{x}{{{x^2}+1}}=\frac{1}{4}$,$\therefore \frac{{{x^2}+1}}{x}=4$即$\frac{{{x^2}}}{x}+\frac{1}{x}=4$
$\therefore x+\frac{1}{x}=4\therefore x^{2}+\frac{1}{{{x^2}}}={({x+\frac{1}{x}})^2}-2=16-2=14$
材料二:在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数"$k$",将连等式变成几个值为$k$的等式,这样就可以通过适当变形解决问题.
例:若$2x=3y=4z$,且$xyz\neq 0$,求$\frac{x}{{y+z}}$的值.
解:令$2x=3y=4z=k\left(k\neq 0\right)$则$x=\frac{k}{2}$,$y=\frac{k}{3}$,$z=\frac{k}{4}$,$\therefore \frac{x}{{y+z}}=\frac{{\frac{1}{2}k}}{{\frac{1}{3}k+\frac{1}{4}k}}=\frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{7}{{12}}}}=\frac{6}{7}$
根据材料回答问题:
$(1)$已知$\frac{x}{{{x^2}-x+1}}=\frac{1}{5}$,求$x+\frac{1}{x}$的值.
$(2)$已知$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}\left(abc\neq 0\right)$,求$\frac{{3b+4c}}{{2a}}$的值.
$(3)$若$\frac{{yz}}{{bz+cy}}=\frac{{zx}}{{cx+az}}=\frac{{xy}}{{ay+bx}}=\frac{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}$,$x\neq 0$,$y\neq 0$,$z\neq 0$,且$abc=5$,求$xyz$的值.