规定:若关于$x$的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$,则称该方程为"和解方程".例如:方程$2x=-4$的解为$x=-2$,而$-2=-4+2$,则方程$2x=-4$为"和解方程".
请根据上述规定解答下列问题:
$(1)$已知关于$x$的一元一次方程$-3x=t$是"和解方程",求$t$的值；
$(2)$已知关于$x$的一元一次方程$4x=mn+n$是"和解方程",并且它的解是$x=n\left(n\neq 0\right)$,求$m$,$n$的值.