如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,过点$A$作$AD\bot BC$于点$D$,点$M$为线段$AD$上一点（不与$A$,$D$重合）,在线段$BD$上取点$N$,使$DM=DN$,连接$AN$,$CM$.
$(1)$观察猜想
线段$AN$与$CM$的数量关系是______,$AN$与$CM$的位置关系是______.
$(2)$类比探究
将$\triangle DMN$绕点$D$旋转到如图$2$所示的位置,请写出$AN$与$CM$的数量关系及位置关系,并就图$2$的情形说明理由.
$(3)$问题解决
已知$AD=2$,$DM=\sqrt{2}$,将$\triangle DMN$绕点$D$旋转,当以$A$,$D$,$M$,$N$四点为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出$BN$的长.