如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$AB=BC$,$A\left(-6,0\right)$,$B\left(0,3\right)$.

$(1)$如图$1$,求点$C$的坐标；
$(2)$如图$2$,$BC$交$x$轴于点$M$,$AC$交$y$轴于点$N$,且$BM=CM$,求证:$\angle CMN+\angle BAM=90^{\circ}$；
$(3)$如图$3$,若点$A$不动,点$B$在$y$轴的正半轴上运动时,分别以$OB$、$AB$为直角边在第一、第二象限作等腰直角$\triangle BOF$与等腰直角$\triangle ABE$,其中$\angle ABE=\angle OBF=90^{\circ}$,连接$EF$交$y$轴于$P$点,问当点$B$在$y$轴正半轴上移动时,$BP$的长度是否变化?若变化请说明理由,若不变化,请求出其长度.