综合与探究.
如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数$y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2$的图象与$x$轴交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$的左侧）,与$y$轴交于点$C$,连接$BC$.
$(1)$求$A$,$B$,$C$三点的坐标；
$(2)$若点$P$是$x$轴上一点,当$\triangle BCP$为等腰三角形时,求点$P$的坐标；
$(3)$点$Q$是二次函数图象上的一个动点,请问是否存在点$Q$使$\angle QCB=\angle ABC$?若存在,请求出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由.