已知:如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=6cm$,$BC=8cm$,$D$、$E$分别是$AC$、$AB$的中点,连接$DE$,点$P$从点$D$出发,沿$DE$方向匀速运动,速度为$1cm/s$；同时,点$Q$从点$B$出发,沿$BA$方向匀速运动,速度为$2cm/s$,当点$P$停止运动时,点$Q$也停止运动.连接$PQ$,设运动时间为$t\left(s\right)\left(0 \lt t \lt 4\right)$.解答下列问题:
$(1)$当$t$为何值时,$PQ\bot AB$?
$(2)$当点$Q$在$BE$之间运动时,设五边形$PQBCD$的面积为$y(cm^{2})$,求$y$与$t$之间的函数关系式；
$(3)$在（2）的情况下,是否存在某一时刻$t$,使$PQ$分四边形$BCDE$两部分的面积之比为$S_{\triangle PQE}$:$S_{五边形PQBCD}=1:29$?若存在,求出此时$t$的值以及点$E$到$PQ$的距离$h$；若不存在,请说明理由.