如图,点$A$,点$B$的坐标分别为$\left(4,0\right)$、$\left(0,8\right)$,点$C$是线段$OB$上一动点（点$C$不与点$O$重合),点$E$在$x$轴正半轴上,四边形$OEDC$是矩形,且$OE=2OC$.设$OE=t\left(t \gt 0\right)$,矩形$OEDC$与$\triangle AOB$重合部分的面积为$S$.根据上述条件,回答下列问题:
$(1)$当矩形$OEDC$的顶点$D$在直线$AB$上时,$t=$______；
$(2)$当$t=4$时,$S$的值为______；
$(3)$求出$S$与$t$的函数关系式.