在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^{2}-2mx+m+1$上存在两点$A(m-1$,$y_{1})$,$B(m+3$,$y_{2})$.
$(1)$求顶点$C$的坐标（用含$m$的式子表示）；
$(2)$记抛物线在$A$,$B$之间的部分为图象$F($包括$A$,$B$两点$),y$轴上有一动点$D\left(0,m\right)$,过点$D$作垂直于$y$轴的直线$l$与$F$有且仅有一个交点,求$m$的取值范围；
$(3)$过点$A$作$AE$∥$x$轴交抛物线于点$E$,在抛物线上找点$G$,使$\angle GBA=2\angle BAE$,求线段$BG$的长.