阅读材料:截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等,补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等,从而解决问题.依据上述材料,解答下列问题:如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AD$平分$\angle BAC$,交$BC$于点$D$,且$\angle B=2\angle C$,求证:$AB+BD=AC$.
$(1)$为了证明结论"$AB+BD=AC$",小亮在$AC$上截取$AE$,使得$AE=AB$,连接$DE$,解答了这个问题,请按照小亮的思路写证明过程；(提示:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等）
$(2)$如图$2$,在四边形$ABCD$中,已知$\angle BAD=60^{\circ}$,$\angle D=110^{\circ}$,$\angle ACD=40^{\circ}$,$\angle ACB=80^{\circ}$,$CE$是$\triangle ABC$的高,$AD=10$,$EB=2$,求$AB$的长.