问题:如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$边上一点（不与点$B$,$C$重合),将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$AE$,连接$EC$,则线段$BC$,$DC$,$EC$之间满足的等量关系式为______；
探索:如图②,在$Rt\triangle ABC$与$Rt\triangle ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,将$\triangle ADE$绕点$A$旋转,使点$D$落在$BC$边上,试探索线段$AD$,$BD$,$CD$之间满足的等量关系,并证明你的结论；
应用:如图③,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC=\angle ACB=\angle ADC=45^{\circ}$.若$BD=9$,$CD=3$,求$AD$的长.