勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数$a$,$b$,$c$,其中$a$,$b$均小于$c$,$a=\frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2}$,$c=\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}$,$m$是大于$1$的奇数,则$b=$______(用含$m$的式子表示).