如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle A=90^{\circ}$,$AB=AC=3$,点$D$,$E$分别在边$AB$,$AC$上,$AD=AE=\sqrt{2}$,连接$DE$.将$\triangle ADE$绕点$A$顺时针方向旋转,旋转角为$\alpha \left(0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 360^{\circ}\right)$.
$(1)$如图②,当$\alpha =90^{\circ}$时,连接$CE$,$BD$,填空:$CE$与$BD$的数量关系为:______；$CE$与$BD$的位置关系为:______；
$(2)$当$0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 180^{\circ}$时,$CE$与$BD$交于点$F$,$\left(1\right)$中的结论还成立吗?若成立,请结合图③写出证明过程；若不成立,请说明理由；
$(3)$当$\triangle ADE$旋转到$ED\bot AC$时,请直接写出$BD$的长.