综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动:在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$D$为$AC$上一点,$CD=\sqrt{2}$,动点$P$以每秒$1$个单位的速度从$C$点出发,在三角形边上沿$C\rightarrow B\rightarrow A$匀速运动,到达点$A$时停止,以$DP$为边作正方形$DPEF$.设点$P$的运动时间为$t s$,正方形$DPEF$的面积为$S$,探究$S$与$t$的关系.
初步感知
$(1)$如图$1$,当点$P$由点$C$运动到点$B$时,
①当$t=1$时,$S=$______；
②$S$关于$t$的函数解析式为______.
$(2)$当点$P$由点$B$运动到点$A$时,经探究发现$S$是关于$t$的二次函数,并绘制成如图$2$所示的图象.请根据图象信息,求$S$关于$t$的函数解析式及线段$AB$的长.
延伸探究
$(3)$若存在$3$个时刻$t_{1}$,$t_{2}$,$t_{3}(t_{1} \lt t_{2} \lt t_{3})$对应的正方形$DPEF$的面积均相等.
①$t_{1}+t_{2}=$______；
②当$t_{3}=4t_{1}$时,求正方形$DPEF$的面积.