方程的解的定义:使方程两边相等的未知数的值.如果一个方程的解都是整数,那么这个方程叫做"立信方程".
$(1)$若"立信方程"$2x-1=3$的解也是关于$x$的方程$1-2\left(x-m\right)=3$的解,则$m=$______；
$(2)$若关于$x$的方程$x^{2}-2x-3=0$的解也是"立信方程"$3x^{2}-6x-5+2n=0$的解,求$n$的值.
$(3)$关于$x$的方程$5x+6=kx-7$是"立信方程",直接写出符合要求的正整数$k$的值.