定义:若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解,则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程.例如:方程$4x-16=0$的解为$x=4$,不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x＜5}\end{array}\right.$的解集为$2 \lt x \lt 5$,因$2 \lt 4 \lt 5$,故方程$4x-16=0$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x＜5}\end{array}\right.$的子方程.
$(1)$在方程①$5x+2=0$,②$\frac{3}{4}x+1=0$,③$x-\left(3x+1\right)=-5$中,不等式组$\left\{\begin{array}{l}{8x+6＜9x+5}\\{2x-1＜7}\end{array}\right.$的子方程是______$(填序号)$；
$(2)$若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}≤\frac{1}{4}}\\{\frac{x}{3}+\frac{x}{2}≥-1}\end{array}\right.$的一个子方程的解为整数,则此子方程的解是______；
$(3)$若方程$2x+3=x+6$,$2x+5=\frac{3}{2}\left(x+4\right)$都是关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x＜3x-m}\\{2x-4≤2m}\end{array}\right.$的子方程,求$m$的取值范围.