如图,在正方形$ABCD$中,点$M$是边$BC$上的一点（不与$B$、$C$重合),点$N$在边$CD$延长线上,且满足$\angle MAN=90^{\circ}$,联结$MN$,$AC$,$MN$与边$AD$交于点$E$.
$(1)$求证:$AM=AN$；
$(2)$如果$\angle CAD=2\angle NAD$,求证:$AM^{2}=\sqrt{2}AB\cdot AE$；
$(3)MN$交$AC$点$O$,若$\frac{{CM}}{{BM}}=k$,则$\frac{{OM}}{{ON}}=$______(直接写答案、用含$k$的代数式表示).