已知:在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC=4$.
$(1)$如图$1$,$BD$是$\triangle ABC$的中线.
①$\triangle BCD$的面积是______；
②已知:$CF\bot BD$,交$AB$于点$E$,$AF\bot AC$,连接$DE$,求证:$\angle BDC=\angle EDA$；
$(2)$如图$2$,点$M$为线段$CA$延长线上一点,过点$A$作$AQ\bot AB$,过点$M$作$BM$的垂线交$AQ$于点$P$,线段$PA$的延长线与线段$BC$的延长线交于点$N$,是否存在点$M$,使${S}_{△AMP}=\frac{3}{2}{S}_{△AMN}$,若存在,求$CM$的长；若不存在,请说明理由.