如图,二次函数$y=ax^{2}+4x+c$的图象与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$,其中$A\left(-1,0\right)$,$C\left(0,5\right)$.
$(1)$求二次函数的表达式,并求出点$B$的坐标.
$(2)$连接$BC$,现将抛物线图象向下平移$m$个单位,使得顶点落在线段$BC$上,请求出$m$的值.